“جوهرة” الدليل تحطم رقمًا قياسيًا عمره 80 عامًا، وتقدم رؤى جديدة حول الأعداد الأولية

النسخة الأصلية ل هذه القصة ظهرت في مجلة كوانتا.

يحاول علماء الرياضيات أحيانًا معالجة مشكلة ما بشكل مباشر، وأحيانًا يتعاملون معها بشكل جانبي. ويصدق هذا بشكل خاص عندما تكون المخاطر الرياضية عالية، كما هو الحال مع فرضية ريمان، التي يأتي حلها بمكافأة قدرها مليون دولار من معهد كلاي للرياضيات. إن إثباتها من شأنه أن يمنح علماء الرياضيات يقينًا أعمق حول كيفية توزيع الأعداد الأولية، في حين يشير أيضًا إلى مجموعة من العواقب الأخرى – مما يجعله السؤال المفتوح الأكثر أهمية في الرياضيات.

ليس لدى علماء الرياضيات أي فكرة عن كيفية إثبات فرضية ريمان. ولكن لا يزال بإمكانهم الحصول على نتائج مفيدة بمجرد إظهار أن عدد الاستثناءات المحتملة له محدود. وقال جيمس ماينارد من جامعة أكسفورد: «في كثير من الحالات، يمكن أن يكون ذلك جيدًا مثل فرضية ريمان نفسها». “يمكننا الحصول على نتائج مماثلة حول الأعداد الأولية من هذا.”

وفي نتيجة مذهلة نُشرت على الإنترنت في شهر مايو/أيار، وضع ماينارد ولاري جوث من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا حداً جديداً لعدد الاستثناءات من نوع معين، فحطموا أخيراً الرقم القياسي الذي تم تسجيله قبل أكثر من ثمانين عاماً. وقال هنريك إيوانيك من جامعة روتجرز: “إنها نتيجة مثيرة”. “الأمر صعب جدًا جدًا جدًا. لكنها جوهرة

يؤدي الدليل الجديد تلقائيًا إلى تقديرات تقريبية أفضل لعدد الأعداد الأولية الموجودة في فترات زمنية قصيرة على خط الأعداد، كما أنه يقدم العديد من الأفكار الأخرى حول كيفية تصرف الأعداد الأولية.

خطوة جانبية حذرة

فرضية ريمان هي عبارة عن صيغة مركزية في نظرية الأعداد تسمى دالة زيتا لريمان. دالة زيتا (ζ) هي تعميم لمجموع مباشر:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ‹¯.

ستصبح هذه المتسلسلة كبيرة بشكل اعتباطي مع إضافة المزيد والمزيد من المصطلحات إليها، ويقول علماء الرياضيات إنها تتباعد. ولكن إذا كنت بدلا من ذلك لتلخيص

1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ‹¯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 + ‹¯

سوف تحصل على Ï€²/6، أو حوالي 1.64. كانت فكرة ريمان القوية بشكل مدهش هي تحويل سلسلة كهذه إلى دالة، كما يلي:

أنا¶(س) = 1 + 1/2^س + 1/3^س + 1/4^س + 1/5^س + ‹¯.

إذًا ζ(1) لا نهائية، لكن ζ(2) = Ï€²/6.

تصبح الأمور مثيرة للاهتمام حقًا عندما تسمح بذلك س يكون عددًا مركبًا، يتكون من جزأين: الجزء “الحقيقي” وهو رقم يومي، والجزء “التخيلي” وهو رقم يومي مضروبًا في الجذر التربيعي لـ “1” (أو أناكما يكتبها علماء الرياضيات). يمكن رسم الأعداد المركبة على مستوى، مع الجزء الحقيقي على س-المحور والجزء التخيلي على ذ-محور. هنا، على سبيل المثال، 3 + 4أنا.